Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Lotto 6 aus 49 zu gewinnen?

Es ist ein Traum für viele Menschen: im Lotto gewinnen und anschließend mit dem Gewinn ein sorgloses Leben führen. Intuitiv klar ist, dass die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn im Lotto sehr gering ist. Doch wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen, genau?

Wir stellen kurz die mathematischen Grundlagen dar und berechnen dann, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinnklassen im Lotto 6 aus 49 ist. Wer sich nicht für den Weg dahin erklärt, sondern nur für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten im Lotto 6 aus 49 interessiert, findet diese hier.

Grundlagen des Spiels 6 aus 49

Beim Lotto 6 aus 49 befinden sich in einer großen Trommel 49 nummerierte Kugeln und es werden davon nacheinander 6 gezogen. Jeder Mitspieler hat zuvor auf seinem Lottoschein 6 Zahlen getippt. Je mehr Zahlen man richtig getippt hat, desto höher ist die Gewinnklasse und damit auch der Gewinn. Zusätzlich gibt es noch die Superzahl. Diese Zahl ist schlicht die letzte Ziffer der Spielscheinnummer – also eine Zah zwischen 0 und 9. Hat man zusätzlich auch noch die richtige Superzahl, erhöht sich die Gewinnklasse noch einmal.

(Früher wurde diese Ziehung noch live im Fernsehen gezeigt. Aus Angst vor möglichen technischen Pannen, erfolgt die Ziehung heute im Vorfeld der Bekanntgabe der Lottozahlen)

mathematische Vorüberlegungen – die Spiele 1 aus 49, 2 aus 49 und 3 aus 49

Wir beschreiben zunächst einfachere Varianten des Lottospiels und betrachten die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn und nähern uns so Schritt für Schritt dem Lotto 6 aus 49 an. Die Ergebnisse unter den ersten Überschriften sind also nicht übertragbar auf das Spiel 6 aus 49.

Grundlegend wird immer wieder die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Experiments sein \[ P( \text{Ereignis}) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Versuchsergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Versuchsergebnisse}} \]

1 aus 49

Wir nehmen zunächst ein einfaches Spiel an: Wir ziehen und tippen zunächst nur eine Kugel. Die Wahrscheinlichkeit, diese Zahl richtig getippt zu haben ist dann logischerweise \[P(\text{richtig})= \dfrac{1}{49} \]

2 aus 49

Soweit so einfach. Schon schwieriger wird es, wenn wir zwei Kugeln tippen und ziehen. Die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen die erste gezogene Kugel richtig getippt zu haben ist dann

\[ P(\text{erste Kugel richtig}) = \dfrac{2}{49}\] , da wir auf zwei verschiedene Kugeln getippt haben und die Ziehung beider Kugeln ein Erfolg wäre. Ziehen wir nun die zweite Kugel, müssen wir beachten, dass sich die Gesamtzahl der Kugeln in der Trommel verändert hat:

\[ \begin{align*} P(\text{beide Kugeln}) &= P(\text{erste Kugel richtig}) \cdot P(\text{zweite Kugel richtig}) \\ P(\text{beide Kugeln} &= \dfrac{2}{49} \cdot \dfrac{1}{48} = \dfrac{2}{2358} = 0,085\% \end{align*} \]

Damit ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von 2 aus 49 Kugeln beide Kugeln richtig zu tippen bei nur etwa 0,085%.

Wir intrepretieren den Bruch $\dfrac{\color{orange}{2}}{\color{blue}{2358}}$: Es gibt insgesamt 2358 mögliche Versuchsergebnisse – für die erste gezogene Kugel gibt es 49 verschiedene Möglichkeit und für die zweite gezogene Kugel gibt es noch 48 verschiedene Möglichkeiten, also insgesamt $49\cdot48=2358$ Möglichkeiten. Von diesen 2358 Möglichkeiten, bedeuten 2 von uns ein glückliches Versuchsergebnis. Habe ich beispielsweise auf die Zahlen 7 und 13 getippt, ist es für den Gewinn egal, ob zuerst die 7 oder zuerst die 13 gezogen wird.

3 aus 49

Beim Spiel 3 aus 49 ziehen und tippen wir nun 3 Kugeln aus einer Trommel mit insgesamt 49 Kugeln. Wir können die Erkenntnissen aus dem Spiel 2 aus 49 direkt übertragen und festhalten:

Wenn wir 3 von 49 Kugeln ziehen, gibt es insgesamt $49\cdot48\cdot47 = 110 544$ mögliche Ergebnisse der Ziehung – wobei die Reihenfolge beachtet wird. Angenommen, ich habe die Zahlen 7, 13 und 42 getippt, dann ist für mich egal, in welcher Reihenfolge diese Zahlen gezogen werden. Es gibt also insgesamt sechs verschiedene Versuchsausgänge, die dazu führen, dass ich drei Richtige im Spiel 3 aus 49 gewinne (7, 13, 42 oder 7, 42, 13 oder 13, 7, 42 oder 13, 42, 7 oder 42, 7, 13 oder 42, 13, 7). Also können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen:

\[ P(\text{3 Richtige}) = \dfrac{6}{110 544}= \dfrac{1}{18 424} =0,00543 \% \]

Die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige im Spiel 3 aus 49 ist also etwa 0,005%.

Der Binomialkoeffizient

Entscheidend für die Berechnung im vorigen Abschnitt waren die Fragestellungen „wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Zahlen aus 49 Zahlen auszuwählen“ bzw. „wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Zahlen aus 3 Zahlen auszuwählen“. Genau diese Fragestellung kann mathematisch mit dem sogenannten Binomialkoeffizienten beschrieben werden:

Der Binomialkoeffizient $\dbinom{n}{k}$ wird definiert als \[ \dbinom{n}{k} =\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] und beschreibt die Anzahl an Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen. Der ! Operator ist dabei die Fakultät, beispielsweise wäre $3!=3\cdot2\cdot1=6$.

Damit können wir vorherige Berechnung auch schreiben als:

\[ P(\text{3 Richtige}) = \dfrac{\dbinom{3}{3}}{\dbinom{49}{3}}=0,00543 \% \]

Im Zähler steht also die Anzahl der glücklichen Versuchsergebnisse „Wie viele Möglichkeiten habe ich, 3 aus 3 Elementen zu wählen“ – das Ergebnis ist 1. Im Nenner steht die Anzahl aller möglichen Versuchsergebnisse „Wie viele Möglichkeiten habe ich, 3 Elemente aus 49 Elementen zu wählen“ – der Binomial koeffizient berücksichtigt die Reihenfolge nicht mehr und liefert hier direkt 18424. Das Ergebnis stimmt mit dem zuvor berechneten Wert überein.

Untersuchung anderer Gewinnklassen mit dem Binomialkoeffizienten

Der letzte Schritt auf dem Weg zum Lotto 6 aus 49: die Untersuchung anderer Gewinnklassen. Wir untersuchen noch einmal das Spiel 3 aus 49 und untersuchen die Gewinnklasse „2 Richtige“.

Von der vorherigen Rechnung können wir die $\dbinom{49}{3}$ übernehmen, da weiterhin 3 von 49 Kugeln gezogen werden. Der Zähler enthält nun $\binom{3}{2}$, da von den 3 gezogenen Zahlen beliebige 2 getippt sein konnten. Würden wir den Zähler nicht weiter anpassen, würden wir die vielen Möglichkeiten für die dritte gezogene Zahl ignorieren. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun noch für die dritte Zahl? Erlaubt sind alle Zahlen, die nicht getippt wurden. Nicht getippt wurden $49-3=46$ Zahlen. Und wie viele Möglichkeiten haben wir, aus 46 Zahlen 1 beliebige Zahl zu wählen? Genau, $\dbinom{46}{1}=46$. Insgesamt gehören zum Ereignis „zwei Richtige“ also $\binom{3}{2} \cdot \binom{46}{1}$ Zahlen. Damit gilt:

\[ P(\text{2 Richtige}) = \dfrac{\dbinom{3}{3}\cdot\dbinom{46}{1}}{\dbinom{49}{3}} \approx 0,75 \% \]

Wahrscheinlichkeiten beim Spiel 6 aus 49

Allgemein gilt für die Wahrscheinlichkeit x Richtige im Spiel 6 aus 49 zu haben: \[ P(\text{x Richtige} ) = \dfrac{\dbinom{6}{x}\cdot\dbinom{43}{6-x}}{\dbinom{49}{6}} \]

Damit ergibt sich für die verschiedenen Gewinnklassen – ohne Berücksichtigung der Superzahl:

\begin{align*} P(\text{6 Richtige}) &= \dfrac{\dbinom{6}{6}\cdot\dbinom{43}{0}}{\dbinom{49}{6}} \approx \dfrac{1}{13983816} \\ P(\text{5 Richtige}) &= \dfrac{\dbinom{6}{5}\cdot\dbinom{43}{1}}{\dbinom{49}{6}} \approx \dfrac{1}{54201} \\ P(\text{4 Richtige}) &= \dfrac{\dbinom{6}{4}\cdot\dbinom{43}{2}}{\dbinom{49}{6}} \approx \dfrac{1}{1032} \\ P(\text{3 Richtige}) &= \dfrac{\dbinom{6}{3}\cdot\dbinom{43}{3}}{\dbinom{49}{6}} \approx \dfrac{1}{56,66} \\ P(\text{2 Richtige}) &= \dfrac{\dbinom{6}{2}\cdot\dbinom{43}{4}}{\dbinom{49}{6}} \approx \dfrac{1}{7,55} \end{align*}

Zu beachten ist, dass für 2 Richtige allein kein Gewinn ausgeschüttet wird. In einer Gewinnklasse landet man erst bei 2 Richtigen mit korrekter Superzahl.

Da die Superzahl eine Zahl zwischen 0 und 9 ist, müssen oben berechnete Wahrscheinlichkeiten noch einmal durch 10 dividiert werden, um auf die entsprechenden Gewinnklassen mit korrekter Superzahl zu kommen. Um auf die Gewinnchancen für die entsprechenden Gewinnklassen ohne korrekte Superzahl zu kommen, müssen obige Wahrscheinlichkeiten noch mit $0,9$ multipliziert werden, da in 9 von 10 Fällen die Superzahl falsch ist. Es ergeben sich schlussendlich die Wahrscheinlichkeiten beim Spiel 6 aus 49:

GewinnklasseGewinnchance (gerundet)
6 Richtige + Superzahl1 zu 139 838 160
6 Richtige1 zu 15 537 573
5 Richtige + Superzahl1 zu 542 008
5 Richtige1 zu 60 2223
4 Richtige + Superzahl 1 zu 10324
4 Richtige 1 zu 1147
3 Richtige + Superzahl 1 zu 567
3 Richtige 1 zu 63
2 Richtige + Superzahl 1 zu 76
Wahrscheinlichkeiten bzw. Gewinnchancen für die verschiedenen Gewinnklassen beim Lotto 6 aus 49

Vergleich von 6 aus 49 mit Würfeln

Um die berechneten Wahrscheinlichkeiten zu veranschaulichen, vergleichen wir sie mit den Wahrscheinlichkeiten am regulären Würfel. So ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot im Spiel 6 aus 49 zu knacken in etwa so wahrscheinlich, wie 10,5 mal hintereinander eine 6 zu würfeln.

GewinnklasseGewinnchance (gerundet)so oft müsste hintereinander eine 6 gewürfelt werden
6 Richtige + Superzahl1 zu 139 838 16010,47
6 Richtige1 zu 15 537 5739,24
5 Richtige + Superzahl1 zu 542 0087,37
5 Richtige1 zu 60 2236,14
4 Richtige + Superzahl 1 zu 10 3245,15
4 Richtige 1 zu 1 1473,93
3 Richtige + Superzahl 1 zu 5673,53
3 Richtige 1 zu 632,31
2 Richtige + Superzahl 1 zu 76 2,42
Wahrscheinlichkeiten bzw. Gewinnchancen für die verschiedenen Gewinnklassen beim Lotto 6 aus 49 in Vergleich mit einem Würfel