Parameterdarstellung von Ebenen aufstellen

Möchte man eine Parameterdarstellung einer Ebene aufstellen, so benötigt man einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Oftmals stehen zur Beschreibung allerdings andere Angaben zur Verfügung. Man muss dann versuchen aus den zur Verfügung stehenden Informationen die benötigten Informationen herausziehen. Es gibt vier Möglichkeiten zur eindeutigen Bestimmung von Ebenen.

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Parameterdarstellung von Ebenen und Punktprobe

Wir kennen bereits die Parameterdarstellung von Geraden: Ausgehend von einem Aufpunkt, der durch den Stützvektor beschrieben wird, durften wir uns beliebig entlang eines Richtungsvektors bewegen. Bei den Ebenen wird nun eine weitere Bewegungsrichtung erlaubt; wir dürfen uns nun also beliebig in zwei verschiedene Richtungen bewegen.

Ein Beispiel für eine Parameterdarstellung einer Ebene E ist:

\[E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 2 9\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 8 -1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 5 5 1 \end{pmatrix} \, r, s \in\mathbb{R} \]

Wie schon bei der Parameterdarstellung einer Geraden gibt es auch für die Parameterdarstellung einer Ebene unendlich viele verschiedene Möglichkeiten. Der Stützvektor muss lediglich der Ortsvektor eines Punktes der Ebene sein und die beiden Richtungsvektoren müssen ebenfalls in der Ebene liegen und dürfen zudem keine Vielfache voneinander sein.

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Lagebeziehung von Geraden

Aus dem Zweidimensionalen kennen wir bereits, dass zwei Geraden entweder parallel zueinander sind oder sich in einem Punkt schneiden. Zudem gibt es noch den Fall, dass es zwei Darstellungen derselben Geraden gibt. Man sagt, die beiden Geradendarstellungen sind identisch.

Betrachtet man nun Geraden im Raum, kommt eine weitere Lagebeziehung hinzu. In der Ebene war die einzige Möglichkeit, dass zwei Geraden sich nicht schneiden, dass diese parallel verlaufen. Im Raum gibt es zudem die Möglichkeit windschiefer Geraden.

Zur rechnerischen Bestimmung der Lagebeziehung von Geraden

Die rechnerische Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden $g_1$ und $g_2$ verläuft im Allgemeinen in zwei Schritten. In manchen Fällen ist der zweite Schritt nicht mehr nötig.

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