Möchte man eine Parameterdarstellung einer Ebene aufstellen, so benötigt man einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Oftmals stehen zur Beschreibung allerdings andere Angaben zur Verfügung.
Man muss dann versuchen aus den zur Verfügung stehenden Informationen die benötigten Informationen herausziehen.
Es gibt vier Möglichkeiten zur eindeutigen Bestimmung von Ebenen.
Parameterdarstellung Ebene
Parameterdarstellung von Ebenen und Punktprobe
Wir kennen bereits die Parameterdarstellung von Geraden: Ausgehend von einem Aufpunkt, der durch den Stützvektor beschrieben wird, durften wir uns beliebig entlang eines Richtungsvektors bewegen. Bei den Ebenen wird nun eine weitere Bewegungsrichtung erlaubt; wir dürfen uns nun also beliebig in zwei verschiedene Richtungen bewegen.
Ein Beispiel für eine Parameterdarstellung einer Ebene E ist:
\[E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \, r, s \in\mathbb{R} \]
Wie schon bei der Parameterdarstellung einer Geraden gibt es auch für die Parameterdarstellung einer Ebene unendlich viele verschiedene Möglichkeiten. Der Stützvektor muss lediglich der Ortsvektor eines Punktes der Ebene sein und die beiden Richtungsvektoren müssen ebenfalls in der Ebene liegen und dürfen zudem keine Vielfache voneinander sein.